Saat ini ia membela HK Kópavogur dan mengenakan nomor punggung 19. Posisi utamanya di lapangan adalah sebagai Penyerang. Estimasi nilai pasar terkininya berada di angka 25K €.

Transfer terbarunya membuat ia bergabung dengan Akranes dari HK Kópavogur melalui skema pada 2025-07-23.

Sepanjang musim Divisi 1 Islandia Putra 2025, Birnir burknason mencatat 13 penampilan, mencetak 2 gol, dan menyumbang 0 assist. Ia rata-rata membuat 0.2 gol per laga dari 0 percobaan, dengan 0 yang tepat sasaran.