Forma parte de HK Kópavogur y lleva la camiseta número 19. Su función principal en el campo es Delantero. Su valoración de mercado estimada se sitúa actualmente en 25K €.

Su último traspaso lo llevó a Akranes desde HK Kópavogur mediante el 2025-07-23.

Durante la campaña 2025 de 1. Deild Karla islandesa, Birnir burknason disputó 13 partidos, marcó 2 goles y dio 0 asistencias. Promedió 0.2 goles por partido con 0 tiros, de los cuales 0 fueron a puerta.